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排序算法基础(概念、时间复杂度、空间复杂度)

排序算法的介绍

排序算法简称排序,是指将一组数据,依指定的顺序进行排列的过程。

排序的分类

  1. 内部排序 将需要处理的所有数据都加载到内存中进行排序
  2. 外部排序 数据量过大,无法全部加载到内存,需要借助外部存储(文件)进行排序
  1. 常见排序算法分类 https://gitee.com/lienhui68/picStore/raw/master/null/20200619092032.png

算法的时间复杂度

度量一个程序(算法)执行时间的两种方法

  1. 事后统计的方法 这种方法可行, 但是有两个问题:一是要想对设计的算法的运行性能进行评测,需要实际运行该程序;二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素,这种方式,要在同一台计算机的相同状态下运行,才能比较那个算法速度更快。

  2. 事前估算的方法 通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优.

时间频度

一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例,哪个算法中语句执行次数多,它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

  1. 忽略常数项
  2. 忽略低次项
  3. 忽略系数

时间复杂度

  1. 概念 一般情况下,算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数,用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数,则称 f(n)是 T(n)的同数量级函数。 记作 T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。

  2. 计算时间复杂度的方法 2.1 用常数 1 代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1 2.2 修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n² 2.3 去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

常见的时间复杂度

  1. 常数阶O(1)
1
2
int i = 1;
i++;
  1. 对数阶O(log2n)
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2
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int i = 1;
while(i<n){
	i = i*2;
}

当i=i*3,则是O(long3n) 3. 线性阶O(n)

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3
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            System.out.println();
        }
  1. 线性对数阶O(nlog2n)
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        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int j = 1;
            while (j < n) {
                j *= 2;
            }
        }

线性对数阶O(logN)其实非常容易理解,将时间复杂度O(logN)的代码循环N遍,那么它的时间复杂度就是nO(logN),也就是O(nlogN)。

  1. 平方阶O(n^2)
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		for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                System.out.println();
            }
        }
  1. 立方阶O(n^3)
  2. k次方阶O(n^k)
  3. 指数阶O(2^n)

常见的时间复杂度对应图 https://gitee.com/lienhui68/picStore/raw/master/null/20200619093521.png

算法的时间复杂度分为多项式级时间复杂度与非多项式级时间复杂度, 时间复杂度的排名: O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n)< O(n!)

其中 O(!n)与O(2^n)被称为非多项式级时间复杂度,增长速度大于且远远大于前面的多项式级时间复杂度。 当遇到时间复杂度为n!的算法时,首先考虑的是使用分治的方式将问题规模缩小。因为!n的增长率是恐怖的,缩小问题规模,时间复杂度的优化效果也将是立竿见影的。下面看一个很简单的例子,8的阶乘是远大于两个4的阶乘的和的: 8的阶乘是40320。我们如果将问题分解,比如对半分则我们将得到两个问题规模为4的子问题,时间复杂度为4的阶乘加4的阶乘等于48。 在将规模为8的原问题分解为两个子问题时,我们将会有6种分法,为了覆盖解空间我们需要将所有子问题的分解方式都尝试一次,则尝试所有分法的计算次数为∑( !k +!(n-k)),其中0<k<n。以问题规模为8时为例,将问题分为两个子问题的计算次数将是1804,与原问题计算40320次时相比,性能得到了极大的提升。

P、NP、NPC、NPH

总结算法中的P问题、NP问题、NP完全问题和NP难问题 多项式时间 P问题NP问题

平均时间复杂度和最坏时间复杂度

  1. 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下,该算法的运行时间。
  2. 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的原因是:最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限,这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
  3. 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致,和算法有关(如图)

https://gitee.com/lienhui68/picStore/raw/master/null/20200619094559.png

算法的空间复杂度

  1. 类似于时间复杂度的讨论,一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间,它也是问题规模 n 的函数。
  2. 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关,它随着 n 的增大而增大,当n较大时,将占用较多的存储单元,例如快速排序和归并排序算法, 基数排序就属于这种情况
  3. 在做算法分析时,主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看,更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.
1
[[1,1,1],[1,2,2],[1,3,2],[2,1],[1,4,4],[2,2]],3

算法的稳定性

排序算法的稳定性大家应该都知道,通俗地讲就是能保证排序前两个相等的数据其在序列中的先后位置顺序与排序后它们两个先后位置顺序相同。即:如,如果A i == A j,Ai 原来在 Aj 位置前,排序后 Ai 仍然是在 Aj 位置前。

排序算法稳定性的意义

稳定意思是说原本键值一样的元素排序后相对位置不变

学习的时候,可能编的程序里面要排序的元素都是简单类型,实际上真正使用的时候,可能是对一个复杂类型的数组排序,而排序的键实际上只是这个元素中的一个属性,对于一个简单类型,数字值就是其全部意义,即使交换了也看不出什么不同。。。但是对于复杂的类型,交换的话可能就会使原本不应该交换的元素交换了。。

比如,一个“学生”数组,按照年龄排序,“学生”这个对象不仅含有“年龄”,还有其他很多属性,稳定的排序会保证比较时,如果两个学生年龄相同,一定不交换。

附常用排序算法耗时情况

10w条数据 冒泡20s 选择7s 插值1.8s 希尔 1000w数据只要3.6s, 10w条数据仅用30ms 快排 1000w 2s, 10w 92ms 归并 1000w 2.7s 10w 50ms 计数 1000w 735ms 基数排序 1000w 786ms,非常占用空间,当1亿数据时,需要占用1亿*11(10个桶+原始数组)*4/1024/1024/1024 = 4.1G 堆排序 1000w 2.8s 冒泡和选择在同样数据情况下,两种算法的循环次数是一样的,但是最坏情况下选择只需要n-1次,冒泡需要n-1+n-2+…1也就是n^2/2次,比较次数多了很多。